高等数学复习（4）
高等数学复习（4）——微分学的概念
导数
导数反应了函数在某一时刻的瞬间变化率，几何意义上就是该点切线的斜率。
在某一处导数存在，也可以说在该点可导，如果直接给出导数值，也证明这一点可导。
概念
计算\(\frac{函数的增量}{自变量的增量}\)的极限，当自变量增量趋于 0 的时候，趋于 0 可以在 0 的左边，也可以在右边，不同的位置分别叫它左导数和右导数。
在某点处导数存在 \(\Leftrightarrow\) 该函数的左右导数都存在并且相等。
- 连续不一定可导。（\(y=|x|\) 在 \(x=0\) 处连续但是不可导）
- 可导一定连续。
定义
- 增量形式：\(f'(x_0)=\lim\limits _{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim\limits _{\triangle x\to 0} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}\)
- 定义形式：\(f'(x_0)=\lim\limits _{\triangle x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
对于导数来说，有两种记号：
\(\frac{df(x)}{dx}\) 或者是 \(f'(x)\)。
微分
微分应该就跟前面提到的增量差不多。
\(\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)\)
然后用该点的导数与 \(\triangle x\) 的乘积作为线性增量。
如果线性增量与 \(\triangle y\) 的差是 \(\triangle x\) （当 \(\triangle x\to 0\)时）的高阶无穷小，那么说这个点是可微的，否则不可微。
可微与可导互为充要条件。
一元函数的微分
微分其实就是在某个方向上的大小为无穷小的变化量。
微分没有具体的数值，但是可以进行比较。比如， \(y=2x\) 很明显，\(y\) 方向上的无穷小变化量\(\triangle y\)与 \(x\) 方向上的无穷小变化量\(\triangle x\) 存在两倍的关系。即 \(\triangle y=2\triangle x\)。
一般我们是确定一个无穷小变化量（通常是 \(\triangle x\)） 然后观察其它变量与 \(\triangle x\) 的关系。
线性主部
线性主部的值就是微分。
记录一下一道选择题：
设函数 \(f(u)\) 可导，\(y=f(x^2)\)，当自变量 \(x\) 在 \(x=-1\) 处取得增量 \(\triangle x=-0.1\) 时，函数的增量 \(\triangle y\) 的线性主部为 0.1，则 \(f'(1)=(\ \ \ \ )\)
解法其实就是写出一个微分方程 \(dy=y'dx=2xf'(x^2)dx\)
然后这里带入 \(x=-1,dx=-0.1,dy=0.1\)，最后解得 \(f'(1)=0.5\)。
mark一下，有时间再来细细品味。
隐函数求导
很简单，左右同时求导，合并要求的导数（\(y'\)） 的同类项，最后化成这这样的式子 \(y'=f(x,y)\) 即可。
三角函数公式
做题目遇到了，记几个三角函数的公式
- \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)
- \(\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\)
- \(2\sin x\cos x=\sin 2x\)
放一道例题在这里（习题1.4.10）
\(y=\sin^4x+\cos^4x\) 当 \(x\ge1\) 时，\(y^{(n)}(x)=\_\_\_\_\_\_\)
这里其实做的时候有想到，应该要借助上面第一个公式的，但是后面的正确做法是：
\(y=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x\)
\(\ =1-\frac{1}{2}(2\cos x\sin x)^2\)
\(\ =1-\frac{1}{2}(\sin2x)^2\)
\(\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}(1-2\sin^22x)\)
\(\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos4x\)
\(y^{(n)}(x)=4^{n-1}\cos(4x+\frac{n\pi}{2})\)