高等数学复习（3）——数函极限与连续性。

函数的极限

邻域

以点 \(x_0\) 为中心的任何开区间称为点 \(x_0\) 的邻域，记作 \(U(x_0)\)

函数极限的定义

同数列极限：

\(f(x)-A\) 可以足够小，当 \(x\to x_0\) 时。

函数极限性质

  • 唯一性：如果极限存在，那么极限只有一个
  • 局部有界性
  • 局部保号性

洛必达法则

超级好用的一个定理。

对于极限 \(\lim\limits _{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) 如果，\(f(a)\to 0\) 且 \(g(a)\to 0\) 或者 \(f(a)\to \infty\) 且 \(g(a)\to \infty\)。

那么\(\lim\limits _{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits _{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)。

就是直接上面求导比下面求导，如果求导还是这样，那么还可以继续用洛必达。

泰勒公式

就是把函数展开为多项式的形式。

这样能快速记住一些等价无穷小的替换。

比如当 \(x\to 0\) 的时候，可以用以下的多项式替换：

  • \(\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)，所以我们有 \(x\to 0\) 时，\(x-\sin x\) ~ \(\frac{x^3}{6}\)。
  • \(\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\)
  • \(\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)
  • \(\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
  • \(\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
  • \(\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)
  • \(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\)
  • \((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)\)

需要熟记于心！！

因为加减是不能用等价无穷小替换的，只有乘除可以！

无穷小比阶

无穷小可以比较，\(\lim\limits _{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}\) 如果分子分母都趋于0且比值得到 \(\infty\) 那么说明分母是比分子的高阶无穷小，记为 \(\beta(x)=o(\alpha(x))\)，如果得到的结果是0，那么则相反，如果得到常数，则是同阶无穷小

两个重要极限

  • \(\lim\limits _{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\)
  • \(\lim\limits _{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e\)

\(\tan x\)的导数

\(\tan'x=\sec^2 x\)