高等数学复习（3）——数函极限与连续性。

函数的极限

邻域

以点 $x_0$ 为中心的任何开区间称为点 $x_0$ 的邻域，记作 $U(x_0)$

函数极限的定义

同数列极限：

$f(x)-A$ 可以足够小，当 $x\to x_0$ 时。

函数极限性质

  • 唯一性：如果极限存在，那么极限只有一个
  • 局部有界性
  • 局部保号性

洛必达法则

超级好用的一个定理。

对于极限 $\lim\limits _{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 如果，$f(a)\to 0$ 且 $g(a)\to 0$ 或者 $f(a)\to \infty$ 且 $g(a)\to \infty$。

那么$\lim\limits _{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits _{x\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$。

就是直接上面求导比下面求导，如果求导还是这样，那么还可以继续用洛必达。

泰勒公式

就是把函数展开为多项式的形式。

这样能快速记住一些等价无穷小的替换。

比如当 $x\to 0$ 的时候，可以用以下的多项式替换：

  • $\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$，所以我们有 $x\to 0$ 时，$x-\sin x$ ~ $\frac{x^3}{6}$。
  • $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
  • $\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  • $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
  • $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
  • $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
  • $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  • $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)$

需要熟记于心！！

因为加减是不能用等价无穷小替换的，只有乘除可以！

无穷小比阶

无穷小可以比较，$\lim\limits _{x\to 0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ 如果分子分母都趋于0且比值得到 $\infty$ 那么说明分母是比分子的高阶无穷小，记为 $\beta(x)=o(\alpha(x))$，如果得到的结果是0，那么则相反，如果得到常数，则是同阶无穷小

两个重要极限

  • $\lim\limits _{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
  • $\lim\limits _{x\to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$

$\tan x$的导数

$\tan’x=\sec^2 x$