高等数学复习（5）——一元函数微分学的几何应用

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先来讲讲上一章的一些例题吧。

碰到这种题目：

\(\lim\limits _{x\to 0} \frac{f(x)}{x}\) 如果存在，那么说明 \(f(x)=0\) 一定成立（如果 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续的话）

这么看，因为 \(x\) 已经是无穷小量了，一个数除一个无穷小量存在且是不为0的常数说明两个数互为同阶无穷小。如果存在且为 0 那么 \(f(x)\) 应该是 \(x\) 的高阶无穷小，不管怎么说 \(\lim\limits _{x\to 0}f(x)=0\) 是一定成立的，再加上这一点连续，那么这一点的极限值就是函数值。

充分条件和必要条件

一个命题P的充分条件是指如果P成立，那么某个其他命题Q也必须成立。换句话说，如果P发生，那么Q就必须是真的。这种关系通常表示为P ⇒ Q，其中“⇒”表示蕴含符号。

一个命题P的必要条件是指如果Q是真的，那么P也必须是真的。换句话说，P是Q的一个必要条件，当且仅当只要Q成立，P就必须成立。这种关系通常表示为Q ⇒ P，其中“⇒”表示蕴含符号。

一个条件既可以是充分条件，也可以是必要条件，也可以同时是两者。例如，命题P和Q可以互为充分条件和必要条件，也就是说，P⇔Q。这种关系通常称为等价关系。

这么看，如果一个条件（P）成立，另一个条件（Q）一定成立的话，那么就这么写 P ⇒ Q。顺着箭头读就是充分，逆着箭头读就是必要。

极值与最值

最值比较绝对，且具有唯一性，就是指某个区间取得的最大值或者是最小值。

极大值点 指的是 \(x\) 的取值，取该点得到的函数值为 极大值，极大值指的是，在这个点的左右两边较小的范围内都是比它小的的值，它是局部最大，最简单的判定方法：

如果函数先增，后减（也就是 \(f'(x)\) 在 \(x<x_0\) 的一小部分范围内 \(>0\)，而在 \(x>x_0\) 的一小部分范围内 \(<0\) ），那么从增变到减的那一点，就是极大值点，并且该点导数一定只能是 0。

极小值定义同理。

极值与一阶导数值有较大的关系。

凹凸性和拐点

一般来说，二阶导数值 \(f''(x_0)>0\) 我们说 \(f(x)\) 在该点上的图形是凹的，反之则是凸的。

拐点的必要条件：

如果二阶导数值存在，且该点是拐点，那么二阶导数值一定为0。

几个拐点的充分条件：

  1. 拐点就跟一阶导数的极值点差不多，当二阶导数值为0，且在该点左右的二阶导数值是异号的，那么这个点就是拐点。
  2. 如果函数三阶可导，\(f''(x_0)=0\) 且 \(f'''(x_0)\neq0\) 那么这点就是拐点。
  3. 第三个是第二个条件的推广，就是说，如果能找到一个 \(n\) 使得二阶导数到 \(n-1\) 阶导数值为 \(0\)，第 \(n\) 阶导数不为0，也能说明这个点是拐点。

这里还有一个概念是驻点，驻点就是一阶导数值为零的点，驻点的充分条件是，该点为极值点。

渐近线

这里我浅浅提出自己的看法吧。

水平渐近线

假定一个函数 \(f(x)，\)如果一个直线方程 \(y=y_0\) 满足函数 \(\lim\limits _{x\to \infty}f(x)=y_0\)，那么 \(y=y_0\) 就是函数 \(f(x)\) 的水平渐近线。

铅锤渐近线

假定一个函数 \(f(x)\)，如果一个直线方程 \(x=x_0\) 满足函数 \(\lim\limits _{x\to x_0} f(x)=\infty\) 那么 \(x=x_0\) 就是函数 \(f(x)\) 的铅锤渐近线。

斜渐近线

这个我觉得可以这么看，抓住渐近线的特点：无线趋近但不相交，这个特性可以用距离无穷小来表示，因为无穷小就是趋于0但不等于0。

假如有一个直线方程 \(y=g(x)\) ，有一个函数 \(y=f(x)\)，如果满足 \(\lim\limits _{x\to \infty} f(x)-g(x)=0\)，那么这个直线就是函数的斜渐近线。

例题

5.10：

曲线 \(y=\frac{x^2}{x+2}\) 的斜渐近线方程是 ____________

告诉了是斜渐近线，直接拿式子：

\(\lim\limits _{x\to \infty} f(x)-g(x)=0\)

这里 \(f(x)\) 已知，我们要让它的极限趋于0，我们就适当变形一下 \(y=(x-2)+\frac{4}{x+2}\)

很明显，右边那个分式极限为0，左边的 \(x-2\) 就是我们要求的直线方程了，因为这么一减就剩下右边那个极限为0的式子了，因此 \(g(x)=x-2\)