高等数学复习（8）——一元积分学概念

概念

原函数存在定理：

当函数 \(f(x)\) 在任意一点上都具有 \(\int f(x)=F(x)+C\) ，则称 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数。

只有含有有界震荡间断点的函数具有原函数，其余情况没有原函数。

定积分概念：

即是黎曼积分的定义 \(\int _a ^b f(x)dx=\sum^{n}_{i=1}\lim\limits _{n\to \infty} f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}\)

特别的，当 a=0，b=1 的时候，式子退化成 \(\int _0 ^1 f(x)dx=\sum^{n}_{i=1}\lim\limits _{n\to \infty} f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}\)

所以做数列极限题的时候，可以尝试化成这样的式子，转而求定积分。

定积分存在定理：

  • \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则 \(\int _a ^b f(x)dx\) 存在。
  • \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调，则 \(\int _a ^b f(x)dx\) 存在。
  • \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，且只有有限个间断点，则 \(\int _a ^b f(x)dx\) 存在。
  • 若\(\int _a ^b f(x)dx\) 存在，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有界。

先给出一个结论：

可导一定连续，连续一定可积，在有限区间内可积一定有界。

反过来，如果函数 \(f(x)\) 可积，那么 \(\int _a ^x f(t)dt\) 连续。

如果 \(f(x)\) 连续，那么 \(\int _a ^x f(t)dt\) 可导，就是会升一级。

反常积分：

当区间无界时，定积分不存在，但是反常积分（广义积分）存在，同样，无界区间有限的时候，也是定积分不存在，但是广义可积。

\(\int _{-\infty} ^{+\infty} f(x)dx\) 收敛当且仅当我们找到了一个值 \(a\)，使得 \(\int _{-\infty}^{a}f(x)dx\) 收敛且 \(\int _{a} ^{+\infty}f(x)dx\) 收敛时，它才整体收敛。

瑕点：积分上，函数极限为无穷的点。

若积分区间有限，而函数无界的话，如果存在n个瑕点，将积分区域划分为 n+1 部分，需要这 n+1 个区间积分全部收敛时，整个反常积分是收敛，否则发散。

例题

定积分计算

\(\int ^\pi _0 \frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx\)

这里有一个比较好的结论，就是说：

\(\int _0 ^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int _0 ^\pi f(\sin x)dx\)