高等数学复习（4）——微分学的概念

导数

导数反应了函数在某一时刻的瞬间变化率，几何意义上就是该点切线的斜率。

在某一处导数存在，也可以说在该点可导，如果直接给出导数值，也证明这一点可导。

概念

计算$\frac{函数的增量}{自变量的增量}$的极限，当自变量增量趋于 0 的时候，趋于 0 可以在 0 的左边，也可以在右边，不同的位置分别叫它左导数和右导数。

在某点处导数存在 $\Leftrightarrow$ 该函数的左右导数都存在并且相等。

  • 连续不一定可导。（$y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但是不可导）
  • 可导一定连续。

定义

  • 增量形式：$f’(x_0)=\lim\limits _{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim\limits _{\triangle x\to 0} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}$
  • 定义形式：$f’(x_0)=\lim\limits _{\triangle x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

对于导数来说，有两种记号：

$\frac{df(x)}{dx}$ 或者是 $f’(x)$。

微分

微分应该就跟前面提到的增量差不多。

$\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$

然后用该点的导数与 $\triangle x$ 的乘积作为线性增量。

如果线性增量与 $\triangle y$ 的差是 $\triangle x$ （当 $\triangle x\to 0$时）的高阶无穷小，那么说这个点是可微的，否则不可微。

可微与可导互为充要条件。

一元函数的微分

微分其实就是在某个方向上的大小为无穷小的变化量。

微分没有具体的数值，但是可以进行比较。比如， $y=2x$ 很明显，$y$ 方向上的无穷小变化量$\triangle y$与 $x$ 方向上的无穷小变化量$\triangle x$ 存在两倍的关系。即 $\triangle y=2\triangle x$。

一般我们是确定一个无穷小变化量（通常是 $\triangle x$） 然后观察其它变量与 $\triangle x$ 的关系。

线性主部

线性主部的值就是微分。

记录一下一道选择题：

设函数 $f(u)$ 可导，$y=f(x^2)$，当自变量 $x$ 在 $x=-1$ 处取得增量 $\triangle x=-0.1$ 时，函数的增量 $\triangle y$ 的线性主部为 0.1，则 $f’(1)=(\ \ \ \ )$

解法其实就是写出一个微分方程 $dy=y’dx=2xf’(x^2)dx$

然后这里带入 $x=-1,dx=-0.1,dy=0.1$，最后解得 $f’(1)=0.5$。

mark一下，有时间再来细细品味。

隐函数求导

很简单，左右同时求导，合并要求的导数（$y’$） 的同类项，最后化成这这样的式子 $y’=f(x,y)$ 即可。

三角函数公式

做题目遇到了，记几个三角函数的公式

  • $\sin^2 x+\cos^2 x=1$
  • $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$
  • $2\sin x\cos x=\sin 2x$

放一道例题在这里（习题1.4.10）

$y=\sin^4x+\cos^4x$ 当 $x\ge1$ 时，$y^{(n)}(x)=______$

这里其实做的时候有想到，应该要借助上面第一个公式的，但是后面的正确做法是：

$y=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\cos^2x\sin^2x$

$\ =1-\frac{1}{2}(2\cos x\sin x)^2$

$\ =1-\frac{1}{2}(\sin2x)^2$

$\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}(1-2\sin^22x)$

$\ =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos4x$

$y^{(n)}(x)=4^{n-1}\cos(4x+\frac{n\pi}{2})$