高等数学复习（6）——中值定理

涉及函数的中值定理

设 \(f(x)\) 在 \([a，b]\) 上连续，则

  • 定理 1（有界与最值定理）：\(m\le f(x)\le M\)，其中，m，M分别为 \(f(x)\) 在 \([a，b]\) 上的最小值与最大值。
  • 定理 2（介值定理）：当 \(m\le \mu \le M\)时，存在 \(\xi \in [a,b]\)，使得 \(f(\xi)=\mu\).
  • 定理 3（平均值定理-离散的）：当 \(a<x_1<x_2<_\cdots x_n<b\)时，在 \([x,x_n]\)内至少存在一点 \(\xi\)，使 \(f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+_\cdots f(x_n)}{n}\)。

定理3的证明可以利用类似放缩的思路：n个函数值点，一定有 \(m\le f(x_i)\le M\)，因此有 \(nm\le f(x_1)+f(x_2)+_\cdots f(x_n)\le nM\)，化简即得到该式子，再利用介值定理，这个函数值一定在 \([m,M]\) 上存在。这个结论不必证明，可以直接使用。

  • 定理 4（零点定理）：当 \(f(a)\cdot f(b)<0\) 时，存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得 \(f(\xi)=0\)。

这个定理就是说在一段区间中，如果端点值异号，那么一定存在零点。这么去考虑，因为 \(f(a)\cdot f(b)<0\) 因此有最小值 \(m<0\) 最大值 \(M>0\)，根据介值定理，一定存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得 \(f(\xi)=0\)。

  • 定理5（费马定理）：\(f(x)\) 在 \(f(x_0)\) 处可导且取极值，那么 \(f'(x_0)=0\)。

这个其实很好理解，因为原来我们说 \(f'(x_0)=0\) 且 \(\lim\limits _{x\to x_0^+} f'(x)\times \lim\limits _{x\to x_0^-} f'(x)<0\) 那么这个点一定是极值。这里反向证明需要加一个条件就是可导。

证明（可能会考）：先选一个 \(x_0\) 的邻域 \(U(x_0)\)，因为极大（小），因此必有 \(f(x)-f(x_0)\le0(\ge0)\)，然后得到左右导数异号，但是又存在，因此得到极限值就是 0。

这里还有一个有趣的生活应用：当一个人跑的最远的时候，速度为0，当一个人跑的最快（速度不会再加了）的时候加速度为0。

  • 定理6（罗尔定理）：如果端点值相等，且闭区间连续，开区间可导，那么存在 \(f(\xi)=0\)。（直接用）

有推广形式：就是左端点去不到，但是有极限相等，甚至极限同为 \(\infty\) 都可以，也是直接使用。

  • 定理7（拉格朗日中值定理）：设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导，那么存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得 \(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，几何意义上来看，就是区间边界上两点的连线斜率（这一段的平均变化率），在函数中必有一点的瞬时变化率（切线斜率）相等。

  • 定理8（柯西中值定理）：设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导，设 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导，那么存在 \(\xi \in (a,b)\) 使得 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)。这个定理并不是直接用两个拉格朗日中值定理比得到的，因为分别拉格朗日没有办法证明两个 \(\xi\) 相等。

  • 定理9（泰勒公式）：已知函数上一个点 \(a\)，对于任意点，可以使用公式 \(f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_n(x)\)，其中 \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}\) 是拉格朗日余项（\(\xi\) 介于 \(x\) 到 \(a\) 之间）。特别的，当 \(a=0\) 时的泰勒公式称为麦克劳林公式。配亚诺余项是 \(o((x-a)^{n})\)，也就是研究 \(x\to a\) 时的情况。

  • 定理10（积分中值定理-连续的）：存在 \(\xi \in[a,b]\)，使得 \(\int _a ^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)\)。

同样因为它有最大值 \(M\) 最小值 \(m\)，因此直接写出这个式子：

\(m\le f(x)\le M\)，然后在 \([a,b]\) 上面积分，就变成了 \((b-a)m\le \int _a ^b f(x)dx\le(b-a)M\)。最后就是 \(\frac{1}{b-a}\int _a ^b f(x)dx\in [m,M]\)，根据介值定理，这个东西我一定能找到一个 \(f(\xi)\)，所以最后就变成了 \(\int _a ^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)\)。如果要证明 \(\xi\in (a,b)\)，那么需要用拉格朗日中值定理证明一遍，但是因为已经考过，所以不需要证明一遍了。

下面我只记录一下课堂上有疑问的题目，如果没有疑问自己跟着证明一遍也过了。

费马定理的使用

例题6.7

这里在听宇哥讲课的时候，并没有提到为什么不能用零点定理去做（实则是太急了没往下听）。

题目：

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，证明当 \(f'_+(a) \cdot f'_-(b)<0\) 时，存在 \(\xi \in (a,b)\)，使得 \(f'(\xi)=0\)。

这里当时感觉零点定理直接做了，但是犯了一个错误，零点定理要求函数必须连续，这里当时以为都可导了肯定连续，殊不知，可导只能证明原函数连续，导函数不一定连续，一个很特殊的例子就是：

函数 \(f(x) = \sqrt[3]{x}\)，它在所有实数处可导。然而，它的导函数为 \(f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)，在 \(x=0\) 处不连续，因为导数的值为正无穷大。因此，可导函数的导函数不一定连续。这只需要举出一个特例，就能反驳这个证明思路。

这里正确的做法是不妨设一个大于0，一个小于0，那么得到在端点的邻域内，总有 \(f(a)>f(x)(x\in U(a)),f(b)>f(x)(x\in U(b))\)，也可能都是小于，那么在连续的函数内，\((a,b)\) 必有极小（大）值。用一个费马定理即可直接证明。

例题6.5

主要解决一个题目理解上面的问题：

设函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \(f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1\)，证明：

（1）存在 \(\eta \in (\frac{1}{2},1)\)，使得 \(f(\eta)=\eta\)

（2）对于任意实数 \(\lambda\)，必存在 \(\xi \in (0,\eta)\)，使得 \(f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1\)

主要在于，这里第一问给了 \(\eta\) 能不能在第二问用，也就是说第一问得出的结论可不可以直接在第二问用，咨询得到的结果是：如果第一问没加额外条件证明的结果可以在第二问直接用。

而这个题目当中，这个η是你在第一问找的，然后它已经是 \(f(\eta)=\eta\) 了，所以这个能当结论用，这个第一问对第二问是有影响的。

例题6.6

罗尔定理一个比较好的应用，如果能找到三个点，使得它们的值相等，那么必能找到一个二阶导数值为 0 的点。因为我们可以两两连续的点使用罗尔定理，然后得到两个点的导数值为0，这两个点再用一次罗尔定理得到二阶导数值为 0 的点。

总结

这一章知识点有点多，以至于拖了基本一个月了。总结来说就是，对于导数和原函数的关系，拉格朗日，高阶导数到原函数，那就是泰勒公式。如果还需要和积分扯上关系，那就直接上积分中值定理或者是直接在拉格朗日那里积分，然后介值定理去把积分值设定在 \([m,M]\) 之间。