高等数学复习（6）——中值定理

涉及函数的中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a，b]$ 上连续，则

  • 定理 1（有界与最值定理）：$m\le f(x)\le M$，其中，m，M分别为 $f(x)$ 在 $[a，b]$ 上的最小值与最大值。
  • 定理 2（介值定理）：当 $m\le \mu \le M$时，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi)=\mu$.
  • 定理 3（平均值定理-离散的）：当 $a<x_1<x_2<_\cdots x_n<b$时，在 $[x,x_n]$内至少存在一点 $\xi$，使 $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+_\cdots f(x_n)}{n}$。

定理3的证明可以利用类似放缩的思路：n个函数值点，一定有 $m\le f(x_i)\le M$，因此有 $nm\le f(x_1)+f(x_2)+_\cdots f(x_n)\le nM$，化简即得到该式子，再利用介值定理，这个函数值一定在 $[m,M]$ 上存在。这个结论不必证明，可以直接使用。

  • 定理 4（零点定理）：当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi)=0$。

这个定理就是说在一段区间中，如果端点值异号，那么一定存在零点。这么去考虑，因为 $f(a)\cdot f(b)<0$ 因此有最小值 $m<0$ 最大值 $M>0$，根据介值定理，一定存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi)=0$。

  • 定理5（费马定理）：$f(x)$ 在 $f(x_0)$ 处可导且取极值，那么 $f’(x_0)=0$。

这个其实很好理解，因为原来我们说 $f’(x_0)=0$ 且 $\lim\limits _{x\to x_0^+} f’(x)\times \lim\limits _{x\to x_0^-} f’(x)<0$ 那么这个点一定是极值。这里反向证明需要加一个条件就是可导。

证明（可能会考）：先选一个 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$，因为极大（小），因此必有 $f(x)-f(x_0)\le0(\ge0)$，然后得到左右导数异号，但是又存在，因此得到极限值就是 0。

这里还有一个有趣的生活应用：当一个人跑的最远的时候，速度为0，当一个人跑的最快（速度不会再加了）的时候加速度为0。

  • 定理6（罗尔定理）：如果端点值相等，且闭区间连续，开区间可导，那么存在 $f(\xi)=0$。（直接用）

有推广形式：就是左端点去不到，但是有极限相等，甚至极限同为 $\infty$ 都可以，也是直接使用。

  • 定理7（拉格朗日中值定理）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，那么存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，几何意义上来看，就是区间边界上两点的连线斜率（这一段的平均变化率），在函数中必有一点的瞬时变化率（切线斜率）相等。

  • 定理8（柯西中值定理）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，设 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，$(a,b)$ 可导，那么存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$。这个定理并不是直接用两个拉格朗日中值定理比得到的，因为分别拉格朗日没有办法证明两个 $\xi$ 相等。

  • 定理9（泰勒公式）：已知函数上一个点 $a$，对于任意点，可以使用公式 $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_n(x)$，其中 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$ 是拉格朗日余项（$\xi$ 介于 $x$ 到 $a$ 之间）。特别的，当 $a=0$ 时的泰勒公式称为麦克劳林公式。配亚诺余项是 $o((x-a)^{n})$，也就是研究 $x\to a$ 时的情况。

  • 定理10（积分中值定理-连续的）：存在 $\xi \in[a,b]$，使得 $\int _a ^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。

同样因为它有最大值 $M$ 最小值 $m$，因此直接写出这个式子：

$m\le f(x)\le M$，然后在 $[a,b]$ 上面积分，就变成了 $(b-a)m\le \int _a ^b f(x)dx\le(b-a)M$。最后就是 $\frac{1}{b-a}\int _a ^b f(x)dx\in [m,M]$，根据介值定理，这个东西我一定能找到一个 $f(\xi)$，所以最后就变成了 $\int _a ^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。如果要证明 $\xi\in (a,b)$，那么需要用拉格朗日中值定理证明一遍，但是因为已经考过，所以不需要证明一遍了。

下面我只记录一下课堂上有疑问的题目，如果没有疑问自己跟着证明一遍也过了。

费马定理的使用

例题6.7

这里在听宇哥讲课的时候，并没有提到为什么不能用零点定理去做（实则是太急了没往下听）。

题目：

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，证明当 $f’+(a) \cdot f’-(b)<0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f’(\xi)=0$。

这里当时感觉零点定理直接做了，但是犯了一个错误，零点定理要求函数必须连续，这里当时以为都可导了肯定连续，殊不知，可导只能证明原函数连续，导函数不一定连续，一个很特殊的例子就是：

函数 $f(x) = \sqrt[3]{x}$，它在所有实数处可导。然而，它的导函数为 $f’(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$，在 $x=0$ 处不连续，因为导数的值为正无穷大。因此，可导函数的导函数不一定连续。这只需要举出一个特例，就能反驳这个证明思路。

这里正确的做法是不妨设一个大于0，一个小于0，那么得到在端点的邻域内，总有 $f(a)>f(x)(x\in U(a)),f(b)>f(x)(x\in U(b))$，也可能都是小于，那么在连续的函数内，$(a,b)$ 必有极小（大）值。用一个费马定理即可直接证明。

例题6.5

主要解决一个题目理解上面的问题：

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$，证明：

（1）存在 $\eta \in (\frac{1}{2},1)$，使得 $f(\eta)=\eta$

（2）对于任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0,\eta)$，使得 $f’(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$

主要在于，这里第一问给了 $\eta$ 能不能在第二问用，也就是说第一问得出的结论可不可以直接在第二问用，咨询得到的结果是：如果第一问没加额外条件证明的结果可以在第二问直接用。

而这个题目当中，这个η是你在第一问找的，然后它已经是 $f(\eta)=\eta$ 了，所以这个能当结论用，这个第一问对第二问是有影响的。

例题6.6

罗尔定理一个比较好的应用，如果能找到三个点，使得它们的值相等，那么必能找到一个二阶导数值为 0 的点。因为我们可以两两连续的点使用罗尔定理，然后得到两个点的导数值为0，这两个点再用一次罗尔定理得到二阶导数值为 0 的点。

总结

这一章知识点有点多，以至于拖了基本一个月了。总结来说就是，对于导数和原函数的关系，拉格朗日，高阶导数到原函数，那就是泰勒公式。如果还需要和积分扯上关系，那就直接上积分中值定理或者是直接在拉格朗日那里积分，然后介值定理去把积分值设定在 $[m,M]$ 之间。