谨以此笔记，记录考研的学习

函数

基本定义

函数具有一对一，多对一的性质，但是不能是一对多，即：一个确定的 x 不能有多个 y 值与之对应。

反函数

从图像上来看，把所有点交换 $x$ 与 $y$ 的坐标值即得到对应反函数曲线，并且反函数和原函数关于 $y=x$ 对称。

  • 严格单调的函数一定有反函数。
  • $y=f(x)$ 与 $x=f^{-1}(y)$ 完全一致，只有在后面表达式中交换 $x$ 和 $y$ 才得到反函数，即 $y=f^{-1}(x)$。
  • 有反函数的不一定是单调函数，也可以是分段函数。

复合函数

就是把外面函数的自变量用一个函数去替代。

如：

  • $f(x)=x^2+x$，那么 $f(g(x))=(g(x))^2+g(x)$

复合函数求导需要先把 $g(x)$ 当成自变量先求一次导，再乘上 $g(x)$ 的导数。

有界性

有界一定要指明区间。

若能找到一个数使得 $|f(x)|\le M$ 则有界。

或者说，若在区间内，某点的极限算出来是无穷大，那么无界，否则有界。

单调性

通俗的讲，沿着 $x$ 增加的方向，$y$ 也增加就是单调增，否则是单调减。

用数学语言描述是：

  • 若任意取 $x_0,x_1$ 存在 $(x_1-x_0)(f(x_1)-f(x_0))>0$ 那么单调递增。
  • 若任意取 $x_0,x_1$ 存在 $(x_1-x_0)(f(x_1)-f(x_0))<0$ 那么单调递减。

不递增不递减就是在递减递增的情况下加上 $=0$ 的状况。

奇偶性

谈论奇偶性一定要定义域对称。

即对于定义域 $D$，任意 $x\in D$ 则一定有 $-x\in D$ 。

奇函数

满足 $f(x)=-f(-x)$。

关于原点对称

若定义域存在0，则一定经过原点

偶函数

满足 $f(x)=f(-x)$。

关于 $y$ 轴对称

若定义域存在0，则 $f’(x)=0$

出题可能会稍微平移，比如说关于 $x=T$ 对称，此时可以换元法让它重新变成一个偶函数。

周期性

存在一个数 $T$ 使得 $f(x)=f(x+T)$ 那么这个函数是周期为 $T$ 的函数。

这里有个重要结论就是，取任意连续周期长度的积分是相同的。

$\int_{a}^{a+T}f(x)$ 永远相等。

结论

  • 可导函数求导之后，奇偶性会互换。
  • 可导周期函数求导之后仍是周期函数，周期不变。
  • 可积奇函数的原函数是偶函数。
  • 可积偶函数的一个原函数是奇函数。因为积分要加上一个常数，因此不一定经过零点，但是经过零点的那个一定是奇函数，而偶函数无所谓，因为都关于 $y$ 对称
  • 对于周期函数来说，一定要满足 $\int _0^T f(x)=0$ 才能保证原函数一定也是周期函数。
  • 若 $f(x)$ 在某个区间可导且导函数有界，那么 $f(x)$ 一定有界。通俗来讲就是，变化率有界，那么在有限区间内函数一定也有界。