高等数学复习(1)

谨以此笔记,记录考研的学习

函数

基本定义

函数具有一对一,多对一的性质,但是不能是一对多,即:一个确定的 x 不能有多个 y 值与之对应。

反函数

从图像上来看,把所有点交换 $x$ 与 $y$ 的坐标值即得到对应反函数曲线,并且反函数和原函数关于 $y=x$ 对称。

  • 严格单调的函数一定有反函数。
  • $y=f(x)$ 与 $x=f^{-1}(y)$ 完全一致,只有在后面表达式中交换 $x$ 和 $y$ 才得到反函数,即 $y=f^{-1}(x)$。
  • 有反函数的不一定是单调函数,也可以是分段函数。

复合函数

就是把外面函数的自变量用一个函数去替代。

如:

  • $f(x)=x^2+x$,那么 $f(g(x))=(g(x))^2+g(x)$

复合函数求导需要先把 $g(x)$ 当成自变量先求一次导,再乘上 $g(x)$ 的导数。

有界性

有界一定要指明区间

若能找到一个数使得 $|f(x)|\le M$ 则有界。

或者说,若在区间内,某点的极限算出来是无穷大,那么无界,否则有界。

单调性

通俗的讲,沿着 $x$ 增加的方向,$y$ 也增加就是单调增,否则是单调减。

用数学语言描述是:

  • 若任意取 $x_0,x_1$ 存在 $(x_1-x_0)(f(x_1)-f(x_0))>0$ 那么单调递增。
  • 若任意取 $x_0,x_1$ 存在 $(x_1-x_0)(f(x_1)-f(x_0))<0$ 那么单调递减。

不递增不递减就是在递减递增的情况下加上 $=0$ 的状况。

奇偶性

谈论奇偶性一定要定义域对称。

即对于定义域 $D$,任意 $x\in D$ 则一定有 $-x\in D$ 。

奇函数

满足 $f(x)=-f(-x)$。

关于原点对称

若定义域存在0,则一定经过原点

偶函数

满足 $f(x)=f(-x)$。

关于 $y$ 轴对称

若定义域存在0,则 $f’(x)=0$


出题可能会稍微平移,比如说关于 $x=T$ 对称,此时可以换元法让它重新变成一个偶函数。

周期性

存在一个数 $T$ 使得 $f(x)=f(x+T)$ 那么这个函数是周期为 $T$ 的函数。

这里有个重要结论就是,取任意连续周期长度的积分是相同的。

$\int_{a}^{a+T}f(x)$ 永远相等。

结论

  • 可导函数求导之后,奇偶性会互换。
  • 可导周期函数求导之后仍是周期函数,周期不变。
  • 可积奇函数的原函数是偶函数。
  • 可积偶函数的一个原函数是奇函数。因为积分要加上一个常数,因此不一定经过零点,但是经过零点的那个一定是奇函数,而偶函数无所谓,因为都关于 $y$ 对称
  • 对于周期函数来说,一定要满足 $\int _0^T f(x)=0$ 才能保证原函数一定也是周期函数。
  • 若 $f(x)$ 在某个区间可导且导函数有界,那么 $f(x)$ 一定有界。通俗来讲就是,变化率有界,那么在有限区间内函数一定也有界。
文章目录
  1. 1. 函数
    1. 1.1. 基本定义
    2. 1.2. 反函数
    3. 1.3. 复合函数
    4. 1.4. 有界性
    5. 1.5. 单调性
    6. 1.6. 奇偶性
      1. 1.6.1. 奇函数
      2. 1.6.2. 偶函数
    7. 1.7. 周期性
  2. 2. 结论
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