差分约束系统，就是给出一组形如 \(x_i-x_j\le d\) 的不等式，求出这组不等式的一组解。这类问题通常转化为图论中的最短路来解。

原理

那我们转换一下，假设 \(x_i\) 为点 \(i\) 的单源最短路长度，\(x_j\) 为点 \(j\) 的单源最短路长度。那么以上不等式就可以转换成 \(dis[i]-dis[j]\le d\to dis[i]\le dis[j]+d\)。

那么这个就转变成了 \(j\to i\) 一条权值为 \(d\) 的边的最短路搜索了。因为如果一条边 \(i\to j\) 权值为 \(d\) ，那么必然有 \(dis[i]\le dis[j]+d\) ，如果不满足这个条件。我们用反证法证明一下这个结论，设一条边 \(i\to j\) 权值为 \(d\)，且满足 \(dis[i] > dis[j]+d\)，那么在一次单源最短路算法时，必然会导致 \(i\) 点被松弛。即发生

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if(dis[i]>dis[j]+d){
    dis[i]=dis[j]+d;
}

那么我们可以得出结论：\(dis[i]\) 一定不会比 \(dis[j]+d\) 大，当 \(i\to j\) 有一条权值为 \(d\) 的边时。当然可以比它小，如果其它边有更短的走法。

所以当存在不等式 \(x_i-x_j\le d\) 的时候，我们只需要建一条 \(i\to j\) 权值为 \(d\) 的边就能满足这个不等式了。

实现

我们就根据不等式组建图，然后跑单源最短路。这里需要注意的是，如果图不连通，那并不是无解，说明它们不在同一个不等式组，相互之间都没有关联，那就分别求单源最短路即可。为了防止这个情况，我们一般都会添加一个超级源点，这个源点为 \(0\) 或者是 \(n+1\)。然后建立一条源点到其它所有点的一条权值为 \(d\) 的有向边。

我们添加了 \(0\to i(1\le i\le n)\) 权值为 \(0\) 的有向边，相当于增加了以下约束条件：

\(dis[i]\le dis[0]+0\)

添加这个约束条件问题是不大的，因为我们很容易看出来，在找到一组解的时候，给所有的未知数都加上一个相同的值，是不会影响结果的。这个结论是很容易的出来的，因为我们的表达式都是一正一负，然后带进不等式之后加上的常数都会消掉，还能解决图不连通的问题，一举多得。添加这个约束条件之后，我们可以发现得到的值一定都是负数，那么如果一定要正解的话，那么直接给所有的dis加上一个 \(\max(dis)\) 就完了。

例题

洛谷P5960

就依然是一个板子，然后最后判断以下负环无解的情况，没有就输出所有的 \(dis\)。

标程

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#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 5005
using namespace std;
struct eee{
    int next;
    int to;
    int w;
}edge[maxn<<2];
int root[maxn],degree[maxn],dis[maxn],e_cnt[maxn],in_que[maxn],cnt,n,m;
void add(int x,int y,int w){
    edge[++cnt].next=root[x];
    edge[cnt].to=y;
    edge[cnt].w=w;
    degree[y]++;
    root[x]=cnt;
}
int spfa(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    queue<int>q;
    q.push(0);
    dis[0]=0;
    e_cnt[0]=0;
    in_que[0]=1;
    while(q.size()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        in_que[u]=0;
        for(int i=root[u];i;i=edge[i].next){
            int v=edge[i].to,w=edge[i].w;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
                e_cnt[v]++;
                if(e_cnt[v]>n){
                    return false;
                }
                if(!in_que[v]){
                    in_que[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
void sync(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
}
int main(){
    sync();
    cin>>n>>m; 
    while(m--){
        int x,y,w;
        cin>>x>>y>>w;
        add(y,x,w);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add(0,i,0);
    } 
    if(!spfa()){
        printf("NO\n");
        return 0;
    }
    int M=1e9;

    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<dis[i]<<' ';
    }
    return 0;
}