差分约束系统，就是给出一组形如 $x_i-x_j\le d$ 的不等式，求出这组不等式的一组解。这类问题通常转化为图论中的最短路来解。
原理
那我们转换一下，假设 $x_i$ 为点 $i$ 的单源最短路长度，$x_j$ 为点 $j$ 的单源最短路长度。那么以上不等式就可以转换成 $dis[i]-dis[j]\le d\to dis[i]\le dis[j]+d$。
那么这个就转变成了 $j\to i$ 一条权值为 $d$ 的边的最短路搜索了。因为如果一条边 $i\to j$ 权值为 $d$ ，那么必然有 $dis[i]\le dis[j]+d$ ，如果不满足这个条件。我们用反证法证明一下这个结论，设一条边 $i\to j$ 权值为 $d$，且满足 $dis[i] > dis[j]+d$，那么在一次单源最短路算法时，必然会导致 $i$ 点被松弛。即发生
1
2
3
| if(dis[i]>dis[j]+d){
dis[i]=dis[j]+d;
}
|
那么我们可以得出结论：$dis[i]$ 一定不会比 $dis[j]+d$ 大，当 $i\to j$ 有一条权值为 $d$ 的边时。当然可以比它小，如果其它边有更短的走法。
所以当存在不等式 $x_i-x_j\le d$ 的时候，我们只需要建一条 $i\to j$ 权值为 $d$ 的边就能满足这个不等式了。
实现
我们就根据不等式组建图，然后跑单源最短路。这里需要注意的是，如果图不连通，那并不是无解，说明它们不在同一个不等式组，相互之间都没有关联，那就分别求单源最短路即可。为了防止这个情况，我们一般都会添加一个超级源点，这个源点为 $0$ 或者是 $n+1$。然后建立一条源点到其它所有点的一条权值为 $d$ 的有向边。
我们添加了 $0\to i(1\le i\le n)$ 权值为 $0$ 的有向边，相当于增加了以下约束条件：
$dis[i]\le dis[0]+0$
添加这个约束条件问题是不大的，因为我们很容易看出来，在找到一组解的时候，给所有的未知数都加上一个相同的值，是不会影响结果的。这个结论是很容易的出来的，因为我们的表达式都是一正一负，然后带进不等式之后加上的常数都会消掉，还能解决图不连通的问题，一举多得。添加这个约束条件之后，我们可以发现得到的值一定都是负数，那么如果一定要正解的话，那么直接给所有的dis加上一个 $\max(dis)$ 就完了。
例题
洛谷P5960
就依然是一个板子，然后最后判断以下负环无解的情况，没有就输出所有的 $dis$。
标程
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
| #include<bits/stdc++.h>
#define maxn 5005
using namespace std;
struct eee{
int next;
int to;
int w;
}edge[maxn<<2];
int root[maxn],degree[maxn],dis[maxn],e_cnt[maxn],in_que[maxn],cnt,n,m;
void add(int x,int y,int w){
edge[++cnt].next=root[x];
edge[cnt].to=y;
edge[cnt].w=w;
degree[y]++;
root[x]=cnt;
}
int spfa(){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
queue<int>q;
q.push(0);
dis[0]=0;
e_cnt[0]=0;
in_que[0]=1;
while(q.size()){
int u=q.front();
q.pop();
in_que[u]=0;
for(int i=root[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to,w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w){
dis[v]=dis[u]+w;
e_cnt[v]++;
if(e_cnt[v]>n){
return false;
}
if(!in_que[v]){
in_que[v]=1;
q.push(v);
}
}
}
}
return true;
}
void sync(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
}
int main(){
sync();
cin>>n>>m;
while(m--){
int x,y,w;
cin>>x>>y>>w;
add(y,x,w);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
add(0,i,0);
}
if(!spfa()){
printf("NO\n");
return 0;
}
int M=1e9;
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<dis[i]<<' ';
}
return 0;
}
|
